La mente infinita de Gödel

Con los siguientes comentarios, el lógico Kurt Gödel apuntaba su concepción filosófica de que el razonamiento humano pudiera ser emulado por una máquina dotada de ciertas operaciones (de Inteligencia Artificial). Sin embargo, deja lugar a la esperanza en la existencia del libre albedrío debida a la posibilidad de que sea imposible emular el razonamiento cuando se refiere a un formalismo más allá del infinito convencional, en la cantidad innumerable (propiamente dicha) de posibilidades del universo.

(1) Como consecuencia de avances posteriores, en particular del hecho de que gracias a la obra de A. M. Turing ahora disponemos de una definición precisa e indudablemente adecuada de la noción general de sistema formal (2), pues ahora es posible dar una versión completamente general de los teoremas de incompletitud y de indeductibilidad de la consistencia.

(2) En mi opinión, el término "sistema formal" o "formalismo" no debiera ser nunca usado más que para esta noción. En una conferencia en Princeton (3) sugerí ciertas generalizaciones transfinitas de los formalismos, pero se trataba de algo radicalmente diferente de los sistemas formales en el sentido propio del término, cuya propiedad característica consiste en que en ellos el razonamiento puede ser, en principio, completamente reemplazado por operaciones mecánicas.

(3) [...] en los datos existe ya el tipo de objetos exteriores que han de ser construidos [con todas las propiedades exigidas para su uso en matemáticas, a menos que...] se acepte la ficción de que se pueden formar proposiciones de longitud infinita (incluso innumerable), esto es, se opere con funciones veritativas de infinitos argumentos sin que importe si se pueden construir o no. Pero una función veritativa de este tipo, ¿qué es sino un tipo especial de extensión (o estructura) infinita, más complicada incluso que una clase y dotada además de un significado hipotético que sólo puede comprender una mente infinita? Todo esto es sólo una verificación del punto de vista antes defendido de que la lógica y las matemáticas (del mismo modo que la física) están  construidas con axiomas que tienen un contenido real que no puede ser eludido.

Esto lo dice en el que posiblemente fue su artículo de mayor relevancia académica ("Sobre sentencias formalmente indecidibles..."), en una nota suplementaria que añadió años después, extendida a su vez por una apostilla a pie de página, que era precisamente la última del texto. Allí se auterofiere a una conferencia que impartió en la que contribuía al tomo dedicado al también matemático y filósofo Bertrand Russell donde somete a análisis y crítica la filosofía de su lógica matemática por prescindir de las entidades abstractas. Entidades tales como las sentencias infinitamente largas que, dice: -solo una ficticia mente infinita podría abarcar.

En todo ello se detecta un cierto afán decididamente ateísta y platónico por justificar que sus elucubraciones constituían auténticos descubrimientos sobre la naturaleza del mundo, y no meras invenciones, obsesión que no cabe duda, muchos científicos han tenido a la largo de su carrera, especialmente a la hora de justificar los fondos asignados a sus investigaciones.

Con el advenimiento de los computadores, podríamos traducir este concepto de mente infinita gödeliana, que muy lejos de una consciencia divina y sin necesidad de acudir a interpretaciones religiosas sobrenaturales, podría reducirse a dos meros componentes básicos en la máquina de Turing: una memoria infinita y un tiempo infinito (o velocidad infinita) para procesar su programa.

Realmente no era necesario ir tan lejos como el infinito y regresar, pues ni Gödel, ni casi nadie en su época, a excepción quizá de Von Neumann y Alan Turing (cuyo centenario celebramos en 2012), podría haber imaginado la capacidad de proceso de los computadores actuales, que son capaces de operar cada segundo con billones de registros binarios (lo que él llamaba sus "funciones veritativas", entendidas como Tablas de Verdad en forma de arrays de bits digitales).

No es extraño por tanto que dudara de la posibilidad de construir nuestros ordenadores actuales, temiendo su abrumadora complicación, ni que le inspirara una inmensa pereza o endiablado pavor la nada halagüeña perspectiva de operar manualmente con tan inabarcable cantidad de registros funcionales. Al fin y a la postre, él mismo se erigió en máximo exponente de los amanuenses simbólicos y centró su carrera en el estudio del Principia Mathemática, un voluminoso libro de Russell y Whitehead donde con enrevesada simbología metamatemática lleva más de 300 páginas llegar a la demostración de que 1+1=2.

Cualquier matemático se habría lamentado y muy pocos en su época podrían haber columbrado el sofisticadísimo grado de abstracción que hoy integran las placas electrónicas de cualquier teléfono móvil, al coste de unas pocas monedas, en el bolsillo de la chaqueta. Sin embargo esto no parece frenar en modo perceptible la carrera abierta por la superación de los límites de la informática, en línea con la ley de Moore, pues un conjunto infinito IN-numerable continúa teniendo una cantidad de elementos disparatadamente mayor que los muchísimos gúgols de información que pudiera manejar un supuesto supercomputador futuro. Al final de la cita, Gödel parece capitular ante la evidencia siempre negada por los ateístas de una autoridad axiomática incuestionable de "contenido real", jamás especificado. Sin embargo, más adelante en su obra empieza a admitir la posibilidad de utilizar, para el beneficio propio de su lógica, la "forma de hablar" que criticaba, gracias a la recursividad, un concepto clave que por su inesperada complejidad ha dado quebraderos de cabeza a más de un estudiante de ingeniería informática.

Así, comienza a entrever que no es necesaria una mente infinita para construir objetos infinitos, gracias a Ramsey y a Hilbert, viéndose conducido a estudiar conjuntos infinitos recursivamente numerables, tales como los números naturales, que se construyen recursivamente mediante operaciones aritméticas básicas como la suma y el producto. Siguiendo por este camino, uno está abocado indefectiblemente a toparse con la teoría del caos y el conjunto de Mandelbrot, donde se encontrará una desbordante complejidad que emerge desde definiciones extremadamente simples: posiblemente la pesadilla de un hombre atado por la lógica más estricta.

Durante su carrera, se lanzó de cabeza a estudiar la hipótesis del continuo de Cantor y estaría de acuerdo con Leibniz en que "la humanidad tuviese un nuevo tipo de instrumento que aumentase las capacidades de la razón mucho más de lo que un instrumento óptico haya ayudado nunca a la capacidad de la visión", aserción meritoria como Poincaré corroboró, que acabó siendo una clarividente metáfora del computador digital programable.

Gödel tuvo que emigrar desde Viena a Estados Unidos debido a la presión bélica de la Segunda Guerra Mundial, en la principal fuga de cerebros que se recuerda y que fue a su vez instigada por la Operación Paperclip de la antigua CIA. En 1946, haría unas interesantes observaciones a su conferencia de Princeton, en las que comenzó resaltando la importancia de haberse obtenido una definición precisa de recursividad o computabilidad. No era en absoluto un necio y había observado ya la tendencia que marcaría el advenimiento de la computación moderna y los ordenadores, con el éxito de la máquina diseñada por Turing para desencriptar las señales cifradas por la máquina alemana Enigma, hecho que, un año antes, contribuyó en gran medida a finalizar la guerra. Comenzó sus observaciones diciendo: "por una especie de milagro, no es necesario definir orden alguno... creo que esto debería animarnos a esperar que lo mismo sea también posible en otros casos..."

A partir de aquí, estudió los puntos de vista de Brower y Weyl-Lie sobre los alephs, o números transfinitos de Cantor, trabajando también en cuestiones cosmológicas y relativistas sobre las ecuaciones de Einstein, que le llevaron a pensar que el cambio no existe sino que es una ilusión derivada de nuestra perspectiva del tiempo "Pues si alguien afirma que este tiempo absoluto está transcurriendo... debe aceptar que la existencia o inexistencia del tiempo depende del modo particular en que la materia y su movimiento están distribuidos en el universo". Un punto de vista filosófico que le resultaba insatisfactorio, pero en el que a pesar de toda la fuerza de su lógica, no halló contradicción alguna.

La flecha del tiempo tiempo sí pasaba para Gödel (y también para nosotros, ya que este artículo se está alargando más de lo debido); en los últimos años de su vida se dedicó a estudiar los números primos, la complejidad computacional, y los infinitésimos, creyendo, como así resultó ser, que serían las bases para el desarrollo de la matemática futura, ya trocada parcialmente en ciencia informática.

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Para elaborar este artículo me he basado en el compendio de las Obras completas de Kurt Gödel por Jesús Mosterín y en la Biografía de Gödel por Javier Fresán de la editorial Nivola (comprada en la Feria del Libro de 2010), que casualmente lleva en portada el cuadro "Der Kuss" de Gustav Klimt, cuyo aniversario también celebramos.

También recomiendo ver el siguiente documental en vídeo sobre la vida y muerte de varios grandes matemáticos, entre ellos Gödel y Turing.

Las imágenes fractales que ilustran el artículo proceden de este blog.